Question

x^n/(1+x^n) n=0~无穷 级数的敛散性

Answer 1

1/x^x＝x^(－x)＝e^(－xlnx)＝求和(n＝0到无穷)(－1)^n(xlnx)^n/n!，
由于(xlnx)'＝lnx+1，因此xlnx在[0,1]上的最小值是－1/e，最大值是0，
于是|xlnx|/n!<＝1/(n!*e)，级数一致收敛，可逐项积分。
而积分（从0到1）(xlnx)^ndx＝积分（从0到1）(lnx)^nd(x^(n+1)/(n+1))
＝(lnx)^n*x^(n+1)/(n+1)|上限1下限0－n/(n+1)*积分（从0到1）x^n*(lnx)^(n－1)dx
＝...＝(－1)^n*n/(n+1)*(n－1)/(n+1)*....*1/(n+1)。
因此通项的积分是1/(n+1)^(n+1)。
故积分（从0到1）dx/x^x＝求和(n＝0到无穷)1/(n+1)^(n+1)，结论成立。