Question

高中数学三角形各种心的向量的表达式以及其详细证明

请证明

Answer 1

在题不建系是很难解的，除非用到向量或大学的纯几何理论，我想初中应该也学了平面直角坐标系了吧，点到点的距离坐标表达式应该也学了吧。
不妨设ΔABC边长为√3【根号3】，则园O半径为1
以O为原点，OA为y轴，过O且平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系。
则：O（0，0），A（0，1），B（-√3/2 , -1/2）, C（√3/2 , -1/2）
设P（x，y）则：x2+y2=1【园上的点符合园的方程】
则PA2+PB2+PC2=x2+（y-1）2+（x+√3/2 ）2+（y+1/2）2+（x-√3/2 ）2+（y+1/2）2
=6
∴P到A,B,C三点距离的平方和为定值。
证毕。

Answer 2

三角形五心向量形式的充要条件：
设O为⊿ABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为a、b、c
则，
1、若向量OA=向量OB=向量OC，则O为⊿ABC的外心
2、若向量OA+向量OB+向量OC=0，则O为⊿ABC的重心
3、若向量OA•向量OB =向量OB•向量OC =向量OC•向量OA，则O为⊿ABC的垂心
4、若a向量OA+b向量OB+c向量OC=0，则O为⊿ABC的内心
5、若a向量OA=b向量OB+c向量OC=0，则O为⊿ABC的角A的旁心