Question

如何用定积分求面积

Answer 1

这是用重积分求面积
曲面面积的计算推导过程
设曲面S由方程
z=
给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数
在D上具有连续偏导数
和
，要计算曲面S的面积A。
在闭区域D上任取一直径很小的闭区域的面积
(这小闭区域的面积也记作
)。在
上取一点
,对应地曲面S上有一点
,点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区间
的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片。由于
的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积
可以近似代替相应的那小片曲面的面积。设点M处曲面S上的法线(指向朝上)与z轴所成的角为，则
=
.
因为
cos
=
,
所以
=
.
这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得
A=
.
上式也可写成
A=
.
这就是计算曲面面积的公式。
设曲面的方程为x=
或y=
,可分别把曲面投影到yOz而上(投影区域记作D
),类似地可得
A=
，
或
A=