Question

已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．（1）求f...

已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）． （1）求f（x）的极值； （2）若对任意x∈[1，+∞]，使得f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对n∈N*，不等式1ln(n+1)+1ln(n+2)+…+1ln(n+2013)＞2013n(n+2013)成立．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-3x2+2x=-3x（x-
2
3
），
f（x）=-x3+x2在（-∞，0），（
2
3
，+∞）上是减函数，
在（0，
2
3
）上是增函数，
故f极大（x）=f（
2
3
）=
4
27
，f极小（x）=f（0）=0；
（2）令F（x）=f（x）+g（x）+x3-（a+2）x
=x2+alnx-（a+2）x
F′（x）=
(x-1)(2x-a)
x
，
又∵F（1）=1-（a+2）≥0，
∴a≤-1；
故在a≤-1时，
F′（x）＞0，
故a≤-1．
（3）证明：∵当a=-1时，x2-lnx-x＞0对任意x∈（1，+∞）上恒成立，
∴（n+i）2-ln（n+i）-（n+i）＞0，
∴0＜ln（n+i）＜（n+i）2-（n+i），
∴
1
ln(n+i)
＞
1
(n+i)(n+i-1)
=
1
n+i-1
-
1
n+i
；
1
ln(n+1)
+
1
ln(n+2)
+…+
1
ln(n+2013)
＞
1
n
-
1
n+1
+
1
n+1
-
1
n+2
+…+
1
n+2012
-
1
n+2013
=
1
n
-
1
n+2013
=
2013
n(n+2013)
．