Question

在三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC大于2

Answer 1

题目应该是在锐角三角形中。
诚如是，则解答如下：
先证明sinA+sinB>1+cosC。
由A、B是锐角得A-B<C及B-A<C，可得cos[(A-B)/2]>cos(C/2)。又sin[(A+B)/2]=cos(C/2)，所以sinA+sinB-(1+cosC)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]-2cos²(C/2)=2cos(C/2){cos[(A-B)/2]-cos(C/2)}>0，所以sinA+sinB>1+cosC。
所以sinA+sinB+sinC>1+cosC+sinC=1+√2sin(C+π/4)。
C是锐角，所以π/4<C+π/4<3π/4，sin(C+π/4)>√2/2，1+√2sin(C+π/4)>2。结论成立。