Question

为什么f对y的偏导不为零，可以得出y是x的函数呀？

Answer 1

函数图像是直线（就是一次函数）的充分必要条件是二阶导数为0.

你的函数存在问题是隐函数存在定理，高等数学书中可以查到，但是没有证明，如果想看证明，可以查任何一本数学分析的书，都会有证明。

Answer 2

偏导为零时，是一条垂直于x轴的直线，垂直于x轴的直线方程是y=C（常数），不含x，因此y不是x的函数。

Answer 3

自行对照，反复阅读理解，谢谢。

隐函数存在定理1
设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x0，y0）=0；Fy（x0，y0）≠0，则方程
F(x,y)=0在点（x0，y0）的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件y0=f(x0),并有dy/dx=-Fx/Fy，这就是隐函数的求导公式。
隐函数存在定理2
设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 F(x0,y0,z0)=0,Fz（x0，y0,z0）≠0，则方程F(x,y,z)=0在点 (x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0),并有αz/αx=-Fx/Fz;αz/αy=-Fy/Fz;

Answer 4

不是这么得出的。是因为 f(x,y) = C为一条直线，所以可以设 y = ax + b.

Answer 5

f对y的偏导为零，则 f(x,y) = g(x) （f(x,y)中无y变量），那么f(x,y) = C 则为 g(x) = C
若不为零 则 f(x,y) = C 是一个必定含有y的等式
可将y表示出来