Question

概率论作业题

1、 袋内放有2个伍分、3个贰分和5个壹分的硬币，任取其中5个，求钱额总数超过1角的概率。
2、 设P（A）=1/4，P（B）=1/5，在什么条件下，P（A∩B）取得最大值、最小值，其值分别为多少？
3、 强力电子公司向温州宁波两供货商以1：3的比例购入IC半导体零件。温州供货商的产品不良率6%，宁波供货商的产品不良率4%。若强力电子公司随机检验一零件，发现竟是不良品，试问此零件来自温州供货商的概率为多少？
4、 甲和乙进行围棋比赛，每局胜者得1分，比赛进行到一方比另一方多出2分结束。设每局甲胜概率a,乙胜概率b(a+b=1)。求最终甲胜的概率。
5、 甲、乙进行对抗赛，设甲胜概率0.6，乙胜概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种形式比赛对乙更有利？

Answer 1

在下面一律用C(n,m)表示从n中取m个

1,考虑总钱数不大于1角的情况
则取出的五分的最多一个
第一种情况，取出一个5分
则剩下的4个硬币不能超过5分，则又有两种情况，分别是4个一分与3个一分加1个两分
于是一共有2*(C(5,4)+C(3,1)*C(5,3))=70
第二种情况，没取出5分的
则任取5个硬币都不可能超过一角
所以有C(8,5)=56

所以不超过1角的概率为(56+70)/C(10,5)=1/2
所以超过1角的概率为1/2

2，当A∩B为空时，P(A∩B)=0
P(A∩B)=P(A|B)P(B)≤P(B)
同理P(A∩B)≤P(A)
P(A∩B)≤min{P(A)，P(B)}=1/5
当A包含B时取得最大值

3，用W，N表示温州与宁波，用L表示产地
用A，B分别表示良与不良，用Q表示质量
则由题意
P(L=W)=1/4,P(L=N)=3/4
P(Q=B}L=W)=0.06
P(Q=B|L=N)=0.04
所以P(L=W|Q=B)
=P(Q=B|L=W)P(L=W)/[P(Q=B|L=W)P(L=W)+P(Q=B|L=N)P(L=N)]
=1/3

4,若甲取胜，则最后两局一定都是甲胜利；反之亦然。
考虑甲胜的情况，若将最后两局由甲的胜利变为乙的胜利，则结果就是乙胜，所以，甲胜的情况可以与乙胜的情况形成一一对应，只是最后两局的胜利分别是甲与乙
所以P(甲胜)/P(乙胜)=a^2/b^2
考虑平局的情况，若平局，则在第2k-1和第2k局一定是甲乙各胜一局
所以P(平局)=lim(n->∞)(2ab)^n=0
所以P(甲胜)+P(乙胜)=1
P(甲胜)=a^2/(a^2+b^2)

5，三局两胜制
P(乙胜) = P(乙胜,赛两局) + P(乙胜,赛三局)
= 0.4^2 + 2*0.4*0.6*0.4 = 0.352
五局三胜制
P(乙胜) = P(乙胜,赛三局) + P(乙胜,赛四局)+ P(乙胜,赛五局)
= 0.4^3 + C(3,1)*0.6*0.4^3 + C(4,2)*0.6^2*0.4^3
=0.31744

所以三局两胜更有利