Question

重心的性质及证明

Answer 1

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

重心的性质及证明

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

重心的性质及证明

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

重心的性质及证明

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、三角形内到三边距离之积最大的点。

重心的性质及证明

证明：点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。

∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

∴aa'+bb'+cc'=2S

由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。

此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。

同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。

∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

Answer 2

重心的性质及证明方法
　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.　　三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.　　过E作EH平行BF.　　AE=BE推出AH=HF=1/2AF 　　AF=CF 　　推出HF=1/2CF 　　推出EG=1/2CG 　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.　　证明方法：　　在▲ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知h1=1/3h 则,S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC),S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以,S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形） 　　证明方法：　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 　　=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 　　=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 　　上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　最终得出结论.　　4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,　　即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 　　空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 　　5、三角形内到三边距离之积最大的点.
作业

Answer 3

2021考研数学三角形重心性质的证明