Question

一道数学证明题（说一下思路就行）

锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边作正方形，M为BC边上的中点，求证EF=2AM

注：那个M点我忘了标上去

Answer 1

证明：延长AM到H,使MH=AM,连接BH，CH
∵M是BC的中点
∴ BM=CM
∵ AM=MH
∠BMH=∠AMC（对顶角相等）
∴⊿HMB≌⊿CMA (SAS)
∴∠BHM=∠CAM
∠HBM=∠ACM
BH=AC
∵∠EAF+∠BAC+∠EAB+∠FAC=360°
∠EAB=∠FAC=90°
∴∠FAE+CAB=180°
∵ ∠BAC=∠BAH+∠CAH
∴∠BAC=∠BAH+∠BHA
∴∠EAF+∠BAH+∠BHA=180°
∵ ∠ABH+∠HAB+∠BHA=180°
∴∠EAF=∠ABH
∵ABDE,ACGF为正方形
∴AB=AE
AC=AF
∴ BH=AF
∵AB=AE
∠ABH=∠EAF
BH=AF
∴⊿ABH≌⊿EAF (SAS)
∴ AH=EF
又∵AH=2AM
∴ EF=2AM

Answer 2

证明:延长AM至N,使MN=AM,连结BN,CN
因为BM=MC,NM=MA
所以AN与BC互相平分
所以四边形ABNC是平行四边形
所以AC//BM,AC=BM
所以角ABN+角BAC=180度
又因为角BAC+角BAE+角FAE+角EAC=360度,角BAE=角EAC=90度
所以角BAC+角EAF=180度
所以角ABN=角EAF
又因为AF=AB,EA=AC=BN
所以三角形EAF与三角形NBA全等
所以EF=AN
所以EF=2AM

Answer 3

延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，CN，构造三角形ACN
证明三角形ACN与EAF全等即可。
这里可以利用AC=AE
CN=AB=AF
角ACN与BAC互补
角FAE与BAC也互补，这样角ACN=角FAE
边角边定理可证全等。

Answer 4

这种有中点问题，证明两倍关系的题有一种常用解法，很简单，希望你能掌握。
解法：中点延长法，利用全等三角形证明。
延长AM到点N，使MN=AM（即延长一倍），然后连接BN。此时就有AN=2AM。
那么要证明结论EF=2AM，证明AN=EF即可。需证明⊿ABN≌⊿FAE
边：容易知道AB=FA（正方形），
边：BN等于AE吗？等于。
因为AE=AC（正方形），那么AC=BN？是。其实这种中点延长法作的四边形
ACNB是平行四边形（这种证明方法的最大特点），AC=BN。也可用两边及其
夹角定理证明⊿AMC≌⊿NMB，即AM=NM，BM=CM，∠AMC=∠BMN，那么就有
AC=BN
由上知，BN=AE
角：证明∠FAE=∠ABN。
容易知道∠FAE+∠BAC=180º，那么∠ABN+∠BAC=180º成立吗？
⊿ABC中有三个角之和为180度，并且由上面⊿AMC≌⊿NMB知∠NBM=∠ACM，那
么∠ABN=∠ABM+∠NBM==∠ABM+∠ACM ，所以就有 ∠ABN+∠BAC=180º（⊿ABC
中有三个角之和为180度）
由上知，∠FAE=∠ABN成立。

最后，由以上分析，根据两边及其夹角分别相等，可以证明⊿ABN≌⊿FAE。
问题得证。

PS：希望你掌握这种方法，这是一类题型。授人以鱼不如授人以渔！

Answer 5

楼上的大哥威武，我就不继续掺和了。。。
话说这种题目，每次都可以用延长中线的方法做的。
不是延长一倍，就是延长到平行，以后这样做，肯定没错。。。

Answer 6

延长AM，在延长线上截取MK=AM连接BK，
可证△ACM全等于△BKM
BK平行AC
△EAF全等于△ABK
EF=AK=2AM