Question

如图，在△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D，求证：AC与圆O相

求证：AC与圆O相切

Answer 1

解：（1）直线AC与⊙O相切．（1分）
理由是：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB．（2分）
∵AB=AC，点O为底边上的中点，
∴AO平分∠BAC（3分）
又∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴OD=OE（4分）
∴OE是⊙O的半径．
又∵OE⊥AC，
∴直线AC与⊙O相切．（5分）
（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°，
∴∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠AOD=∠AOE=60°，
在Rt△OAD中，∵tan∠OAD=ODAD，
∴AD=ODtan∠OAD=3，同理可得AE=3，
∴S四边形ADOE=12×OD×AD×2=12×1×3×2=3，（6分）
又∵S扇形形ODE=120π×12360=13π，（7分）
∴S阴影=S四边形ADOE-S扇形形ODE=3-13π．（8分）

Answer 2

证明：联结AO。
△ABC为等腰三角形 => ∠B=∠C
已知 AB＝AC OB＝OC
=> △OAB全等于△OAC
=> ∠OAB=∠OAC
=> OA为∠BAC的角平分线
=> O点到AB、AC两边的距离相等
因圆O与AB相切，故圆O也与AC相切

Answer 3

证明：作OE⊥AC于E，连接OD
∵AB=AC,O是BC中点
∴OD=OE
∵圆O与腰AB相切于点D
∴OD是半径
∴OE是半径
∴AC与圆O相切