Question

求做一道数学题

已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,rinβ),其中0＜α＜β＜兀,
①求证：a+b与a-b互相垂直
②若ka+b与ka-b(k不等于0)的长度相等。求β-α

Answer 1

①a+b=（cosα+coaβ，sinα+sinβ），a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
∴（a+b）*（a-b）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=1-1=0
∴a+b⊥a-b
②ka+b=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），ka-b=（kcosα-cosβ，ksinα-sinβ）
它们的长度相等也就是他们的模相等，∴：
（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²=（kcosα-cosβ）²+（ksinα-sinβ）²
展开整理有：kcosαcosβ+ksinαsinβ=0
kcos（β-α）=0
∵k≠0
∴cos（β-α）=0，又0＜α＜β＜π；
∴β-α=π/2

Answer 2

a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)
a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ）
(1)(a+b)(a-b)=0
所以垂直
(2)(kcosα+cosβ)^2+(ksinα+sinβ)^2=(kcosα-cosβ)^2+(ksinα-sinβ)^2
cosαcosβ+sinαsinβ=0
cos|α-β|=0
β>α
所以β-α=π/2