Question

怎么证明奇函数在对称区间积分等于零？

Answer 1

代数证明对称区间奇函数积分为0

几何角度，奇函数关于y=x对称，又是对称区间，两部分面积相抵消，为0

Answer 2

回答你的问题如下：
设y=f(x)是奇函数，则有f(-x) = -f(x);
在一对称区间，例如（-a，a）求y的积分，即
积分f(x)dx|(-a, a)= 积分f(x)dx|(-a, 0) +积分f(x)dx|(0, a)
=积分f(-x)dx|(0, a) +积分f(x)dx|(0, a)
=-积分f(x)dx| 积分 + f(x)dx|(0, a)
=0

Answer 3

对　∫[-a,a] f(x)dx
换元相加
其中有：f(-x)=-f(x)
若x=-t，则
∫[a,-a] f(-t)d(-t)
换回积分限
[-a,a]∫-f(t)dt
被积函数已经是原函数的相反数了，因为积分区间相等，
所以两式相加，则原积分2∫[-a,a] f(x)dx=0.
即∫[-a,a] f(x)dx=0