两矩阵相似有什么结论?

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高能答主

2021-12-03 · 享受生活中的美好瞬间!
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两矩阵相似的结论:若A~B,则有(1)A与B有相同的特征值(2)|A|=|B|(3)tr(A)=tr(B)(4)r(A)=r(B)(5)A^k~B^k(6)A与B同时可逆或同时不可逆,且可逆时A^-1~B^-1。

线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

矩阵特征向量的几何含义:

矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此,矩阵乘法对应了一个变换,把一个向量变成同维数的另一个向量。

比如可以取适当的二维方阵,使得这个变换的效果就是将平面上的二维变量逆时针旋转30度。这时除了零向量,没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的,所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量)。

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