Question

两矩阵相似有什么结论?

Answer 1

两矩阵相似的结论：若A~B，则有(1)A与B有相同的特征值(2)|A|=|B|(3)tr(A)=tr(B)(4)r(A)=r(B)(5)A^k~B^k(6)A与B同时可逆或同时不可逆，且可逆时A^-1~B^-1。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

矩阵特征向量的几何含义：

矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。

比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维变量逆时针旋转30度。这时除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意：特征向量不能是零向量）。