Question

在等边三角形ABC中,AB=6,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=CE,连接AD,BE交于点F,连接CF,求CF最小值

Answer 1

取BC的中点P，AC的中点Q，连接AP和BQ交于G

则：GC=AB*(根号3)/3=2*(根号3)

因为：BP=CQ，所以：线段GC是题目中所述无数条FC中的一条

因为：BD=CQ，AB=BC，角ABD=角BCE，

所以：三角形ABD全等于三角形BCE

所以：角BAD=角CBE

因为：角FAG=角BAP-角BAD=30°-角BAD

角FBG=角CBQ-角CBE=30°-角CBE

所以：A,G,F,B四点共园，而这个园的圆心显然在CG的延长线上

所以：G是这个园到C点距离最短的点

所以：CF<=GC

所以：CF的最小值=GC=2*(根号3)

Answer 2

这个问题需要用解析几何求解。
由题：可知△ABC为正△，边长为6，令B为原点（0,0），BC为X轴，点C为（6，0），设点D为（m，0），0<m<6。
则点A为（6cos60°，6sin60°）即（3，3√3），CE=BD=m，点E为（6-mcos60°，msin60°）即（6-m/2，√3m/2）。
所以直线BE：y/x=（√3m/2）/（6-m/2），即√3mx-（12-m）y=0；①
直线AD：y/（x-m）=3√3/（3-m），
即3√3X-（3-m）y-3√3m=0。②
联立①、②方程，解得：
X=（36m-3m^2）/（m^2-6m+36），
y=3√√3m^2/（m^2-6m+36）即交点F的坐标，设为X1，Y1。
将（X1，Y1）和（6，0）的距离用m表示，再求最值即可。