Question

求定积分的表达式！！麻烦大神写一下具体步骤！

为啥求导里面就是0了遇到这种题目该怎么做呀

Answer 1

这是一个关于x的积分方程，后面∫(0→x)(x-t)f(t)dt＝∫(0→x)xf(t)dt-∫(0→x)tf(t)dt＝x∫(0→x)f(t)dt-∫(0→x)tf(t)dt，即f(x)＝e＾x-x∫(0→x)f(t)dt＋∫(0→x)tf(t)dt，两边对x求导得f'(x)＝e＾x∫(0→x)f(t)dt＋xf(x)-xf(x)，整理得f'(x)＝e＾x-∫(0→x)f(t)dt，两边对x求导得f"(x)＝e＾x-f(x)，即f"(x)＋f(x)＝e＾x，这是关于x的二阶线性非奇次微分方程，由已知可知f(0)＝1，f'(0)＝1，f"(0)＝0。据此可求解f(x)的表达式。
此类问题的求解步骤就是分离求导得微分方程，求解微分方程得表达式。