Question

正态分布

Answer 1

若 的概率密度函数为 ，

其中 ，就称 服从参数为 的正态分布（或高斯分布），

记为 .

特征：

两个参数的含义：

若 对于实数 ，

这里的积分

可以通过以下的方法进行计算：

方法一：用 EXCEL,MATLAB,R 等软件来计算；

方法二：用数值积分法；

方法三：转化为标准正态，然后利用标准正态分布表来求。

标准正态分布

若 ，称 服从标准正态分布.

的概率密度函数：

的分布函数：

标准正态分布函数表（ 值），可参考如下网站：

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table

这里可以注意到 关于 y 对称性，

则标准正态分布的分布函数有一个重要性质：

对于任意的实数 都成立。

性质： 当 时，

证明： 对于任意实数 ，

令 ，则

所以上面的式子

由此可见，当 时，对于任意实数 ，有

例 1： 一批钢材（线材）长度（cm）
求：
（1）这批钢材长度小于 97.8 的概率；
（2）这批钢材长度落在区间（97.8，103）的概率。

解：

（1）

通过查表，可以得到

（2）

查表，得到 ，由（1）可知

例 2： 用天平称一实际质量为 的物体，天平的读书记为随机变量 ，若 ，求读书与 的偏差在 范围之内的概率。

解： 由题意知，题实际要求的是：

=P(