Question

大神们求解，实在太难了？

√×+√×+√×+√×+√×+√×+√×=2010

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Answer 1

最后应该求的是[x]，即x的整数部分

为方便说明，令f₁(x)=√x，f₂(x)=√(x+√x), ...，则原式为f₇(x)，表示根号下有7个x
再设t=f₆(x)，那么f₇(x)=√(x+t)=2010，所以x=2010²-t
接下来求t的上下界
∵f₁(x)=√x>0，∴x+√x>x，f₂(x)=√(x+√x)>√x=f₁(x)
同理f₃(x)=√(x+f₂(x))>√(x+f₁(x))=f₂(x)，以此类推，可得f₇(x)>f₆(x)=t
也即t<f₇(x)=2010
又t=f₆(x)>f₁(x)=√x，∴t²>x，t²+t>x+t，(t+0.5)²-0.25>x+t
∴(t+0.5)²>(t+0.5)²-0.25>x+t=2010²，即t>2010-0.5=2009.5
所以2009.5<t<2010
则x=2010²-t<2010²-2009.5=4038090.5
x=2010²-t>2010²-2010=4038090
那么x的整数部分为[x]=4038090