Question

根号下1+x^2分之一的积分是什么?

Answer 1

根号下 (1 + x^2) 分之一的积分可以表示为：
∫(1/√(1 + x^2)) dx
这是一个常见的积分形式，也被称为反正弦积分。为了求解这个积分，可以进行变量替换。
令 x = tanθ，其中 θ 是一个新的变量。则 dx = sec^2θ dθ，并且 1 + x^2 = 1 + tan^2θ = sec^2θ。
将这些替换应用于原始积分：
∫(1/√(1 + x^2)) dx = ∫(1/√(sec^2θ)) sec^2θ dθ
简化后可得：
∫(1/√(1 + x^2)) dx = ∫dθ = θ + C
回顾之前的变量替换，我们有 x = tanθ。因此，θ = arctan(x)。
因此，最终的积分结果是：
∫(1/√(1 + x^2)) dx = arctan(x) + C
其中，C 是积分常数。这就是给定函数的积分表达式。

Answer 2

根号1+x2分之一的积分为(x/2)√(x^2 +1)+(1/2)ln[x+√(x^2 +1)+C。

具体步骤如下：

∫ √(x^2 +1)dx=x√(x^2 +1)-∫ x^2dx/√(x^2 +1)

=x√(x^2 +1)-∫ (x^2+1-1)dx/√(x^2 +1)

=x√(x^2 +1)-∫ √(x^2+1)dx+∫ dx/√(x^2 +1)

=x√(x^2 +1)+ln[x+√(x^2 +1)-∫ √(x^2 +1)dx

=(x/2)√(x^2 +1)+(1/2)ln[x+√(x^2 +1)+C

积分基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。