Question

高二数学题，高分

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x²+2x+b(x属于R)（b为常数）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为c，求：
1.求实数b的取值范围
2.求圆c的方程
3.问圆c是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

要详细解释，谢谢

Answer 1

1.首先函数与y轴必有且仅有一交点C（0，b），那么要求函数f(x)=x2+2x+b与x轴有两交点，我这里理解因为不同交点，所以判别式=4-4b>0 b<1
2.设x轴两交点分别为A（x1,0）B(x2,0) 设圆的方程为：（x-x0)?2+(y-y0)?2=R?2 待定系数 代入ABC三点求解 注意依韦达定理有：x1+x2=-2 x1*x2=b
可求出圆的方程为：（x+1）?2+(y-(b+1)/2)?2=(b?2-2b+5)/4 可以验证的确满足ABC在圆上。
3.可以验证（0,1）恒在圆上，无论B如何取值。
（0+1）?2+(1-(b+1)/2)?2=1+（b?2-2b+1)/4=(b?2-2b+5)/4