Question

在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF

图

Answer 1

证明：从D分别做AB、AC垂线，交AB、AC于M、N

D在角平分线上，所以DM=DN

∠AMD=∠AND=90，所以∠EAF+∠MDN=180（四边形内角和360）

∠EAF+∠EDF=180，∠EDF=∠MDN

∠MDN-∠EDN=∠EDM，∠EDF-∠EDN=∠FDN

∴∠EDM=∠FDN

在△EDM和△FDN中，∠EDM=∠FDN，∠DME=∠DNF=90，DM=DN

△EDM≌△FDN

DE=DF

Answer 2

过D作DG垂直AB,DH垂直AC,垂足G,H

所以角EGD=FHD=90度

因AD平分角BAC

所以DG=DH

因为角BAC+EDF=180度,

所以角AED+角DFH=180度

因为角AED+DEG=180度

所以角DEG=DFH

所以三角形DEG全等于DFH

所以DE=DF