Question

如图、已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证:AC+CD=AB

如图、已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证:AC+CD=AB

Answer 1

证明：作DE垂直AB于E
∵AD是交∠BAC的平分线（已知）
∴∠CAD=∠BAD（角平分线定义）
∵∠C=90°（已知）
∴AC⊥CB（垂直定义）
又∵DE⊥AB（已作）
∠CAD=∠BAD（已证）
∴CD=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵DE⊥AB（已作）
∴∠DEB=90°，∠AED=90°（垂直定义）
∵△ABC中，∠C=90°（已知）
∴∠CAB+∠B=90°
∵AC=BC（已知）
∴∠CAB=∠B（等边对等角）
∴∠B=45°
又∵△DEB中，∠DEB+∠EDB+∠B=180°（三角形内角和180°）
且∠DEB=90°（已证）
∴∠EDB=90°
又∵∠B=90°
∴DE=DB（等角对等边）
又∵CD=ED（已证）
∴CD=EB
在△ACD和△ABD中
∠C=∠AED（已证）
∠CAD=∠BAD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵CD=EB（已证）
∴AC+CD=AE+EB（等量加等量，和相等）
即AC+CD=AD

PS：遇角平分线造对称全等形的是解决此类为题的基本加辅助线策略哦~

Answer 2

作DE垂直AB于E
∵AD是交∠BAC的平分线（已知）
∴∠CAD=∠BAD（角平分线定义）
∵∠C=90°（已知）
∴AC⊥CB（垂直定义）
又∵DE⊥AB（已作）
∠CAD=∠BAD（已证）
∴CD=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵DE⊥AB（已作）
∴∠DEB=90°，∠AED=90°（垂直定义）
∵△ABC中，∠C=90°（已知）
∴∠CAB+∠B=90°
∵AC=BC（已知）
∴∠CAB=∠B（等边对等角）
∴∠B=45°
又∵△DEB中，∠DEB+∠EDB+∠B=180°（三角形内角和180°）
且∠DEB=90°（已证）
∴∠EDB=90°
又∵∠B=90°
∴DE=DB（等角对等边）
又∵CD=ED（已证）
∴CD=EB
在△ACD和△ABD中
∠C=∠AED（已证）
∠CAD=∠BAD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵CD=EB（已证）
∴AC+CD=AE+EB（等量加等量，和相等）
即AC+CD=AD

Answer 3

由题知角B=90度，过D做DE垂直于AB于E，则CD=DE=EB.AC=AE则AB=AE+EB=AC+CD