Question

设a是实数，函数f(x)=x^2+|x-a|+1的最小值为个g(a)，求g(a)的表达式

Answer 1

（1）
1`当a=0时，函数f(-x)=(-x)2 +|-x|+1=f(x)
所以f(x)为偶函数
2`当a不等于0
f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)不等于f(-a)，f(-a)不等于-f(a)
此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
（2）
①`当x小于等于a，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-1/2)2+a+3/4
若a小于等于1/2,则函数在（-∞，a]上单调递减，从而，函数在（-∞，a]世且f(x)小于等于f(a)的最小值为f(a)=a2+1
若a大于1/2，则y在（-∞，a]的最小值是f(1/2)=a+3/4
②当x大于等于a，f(x)=x2+2x-a+1=(x+1/2)2+a+3/4
所以
a小于等于-1/2，则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于1／2，则在[a,+∞)单调递减，在[a,+∞)的最小值为f(a)=a2+1
所以①②知，当a小于等于-1/2最小值为3/4-a
当-1/2小于a小于等于1/2，最小值为a2+1
a大于1/2，最小值为a+3/4

Answer 2

若x≥a
则f(x)=x^2+x-a+1
=(x+1/2)^2-a+3/4
若a≤-1/2,则，f(x)在x=-1的情况下取到最小值g(a)=-a+3/4，
若a>-1/2,则，f(x)在x=a的情况下取到最小值g(a)=a^2+1
若x<a
则f(x)=x^2-(x-a)+1
=x^2-x+a+1
=(x-1/2)^2+a+3/4
若a≥1/2,则f(x)在x=1的情况下取到最小值g(a)=a+3/4，
若a<-1/2,则f(x)在x=a的情况下取到最小值g(a)=a^2+1

Answer 3

x≥a
a≤-1/2,g(a)=-a+3/4
a>-1/2,g(a)=a^2+1
x<a
a≥1/2,g(a)=a+3/4
a<-1/2,g(a)=a^2+1
综上g(a)有最小值5/4