Question

周期函数y= sinx的最小正周期是多少？

Answer 1

y=sinxcos(x+π/4)+cosxsin(x+π/4)
=sin(x+x+π/4)
=sin(2x+π/4)
周期是kπ,(k=整数）。
k=1时，最小正周期是是π。
当一个自变量变化的时候，如果每增加或减少一定的值，它的函数值就重复出现，这种函数就叫做周期函数。这就是说，如果有一个常数a，使得f(x＋a)＝f(x)
这个式子对于x的一切值都能够成立，那么函数f(x)就叫做周期函数，a就叫做函数的周期。三角函数就是一种周期函数。
对于一个周期函数来说，能够使函数的值重复出现的自变量所增加或者减少的最小正值，叫做这个周期函数的最小正周期。例如，我们知道
sin(x＋360°)=sinx，cos(x＋360°)=cosx
对于x的一切值都能够成立，并且360°是具有这个性质的最小的正值。因此，正弦函数、余弦函数的最小周期是360°。
我们知道，tg(x＋180°)=tgx和ctg(x+180°)=ctgx对于x的一切值都能够成立，并且180°是具有这种性质的最小正值，因此，正切函数和余切函数的最小周期是180°。
要注意的是，在一个周期函数所有的周期中，并不一定存在着一个最小正数，即并不是任何周期函数都有最小正周期。例如，常数函数f(x)=c(c为常数)，x∈R。当x在定义域内任意取值时，函数值都是c，即对于函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(x+a)=c，因此f(x)是周期函数。由于a可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期。