Question

线性方程组有几个解？

Answer 1

齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。

如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），

则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

如果系数矩阵行列式不等于0，

则系数矩阵可逆，Ax=0,等式左右同时左乘A逆，得到x=0,

即只有零解。

否则（即系数矩阵行列式等于0时），有其他解（即非零解）。

• 齐次线性方程组

【定义】

常数项全为0的n元线性方程组 

称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

• 当r=n时，原方程组仅有零解；

• 当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。 

证明

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

示例 

依照定理n=4>m=3一定是存在非零解。

对系数矩阵施行初等行变换：

最后一个矩阵为最简形，此系数矩阵的齐次线性方程组为： 

令X4为自由变元，X1，X2，X3为首项变元。

令X4=t，其中t为任意实数，原齐次线性方程组的解为  。