已知数列{an}满足a1=1,an+1=Sn+(n+1)(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和,?

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新科技17
2022-10-28 · TA获得超过5889个赞
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解题思路:(1)由已知得出a n+1=S n+(n+1)当n≥2时,a n=S n-1+n,两式相减并整理、得出a n+1=2a n+1.(n≥2),并对n=1单独验证.
(2)在a n+1=2a n+1两边同时加上1得出a n+1+1=2(a n+1),可以判定{a n+1}是等比数列
(3)通过求出数列{a n+1} 的通项公式得出数列{a n}的通项公式,再求和即可.
(1)由an+1=Sn+(n+1)①
得出n≥2时
an=Sn-1+n ②
①-②得出
an+1-an=an+1
整理an+1=2an+1.(n≥2)
由在①中令n=1得出a2=a1+2=3,满足a2=2a1+1
所以an+1=2an+1.(n≥1)
(2)在an+1=2an+1两边同时加上1得出
an+1+1=2(an+1)
根据等比数列的定义,得出数列{an+1}是以2为公比的等比数列
(3)由(2)数列{an+1} 的通项公式为an+1=2•2 n-1=2n
所以an=2n-1,
Sn=(21-1)+(22-1)+…(2n-1)
=
2(1−2n)
1−2-n
=2 n+1-2-n.
,4,An+1=Sn+(n+1)
An=S(n-1)+n
相减:A(n+1)-An=Sn-S(n-1)+1=An+1 (An=Sn-Sn-1)
所以:A(n+1)=2An+1
A(n+1)+1=2(An+1)
所以{An+1}是等比数列,公比为2,首项为A1+1=2
An+1=2*2^(n-1)=2^n
An=2^n-1
n=1时,A1...,0,a(n+1)=Sn+(n+1)
所以an=S(n-1)+n
相减
a(n+1)-an=Sn-S(n-1)+1
因为Sn-S(n-1)=an
所以a(n+1)-an=an+1
所以a(n+1)=2an+1
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
所以[a(n+1)+1]/(an+1)=2
...,0,已知数列{a n}满足a 1=1,a n+1=S n+(n+1)(n∈N *),其中S n为{a n}的前n项和,
(1)用a n表示a n+1;
(2)证明数列{a n+1}是等比数列;
(3)求a n和S n.
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