Question

已知数列{an}满足a1=1,an>0,Sn是{an}的前n项和

对任意的n属于N*,有2Sn=2an2+an-1.记bn=an/2^n,求数列{bn}的前n项和Tn
2an^2

Answer 1

由2Sn=2an^2+an-1 ①
2S(n-1)=2a(n-1)^2+a(n-1)-1 ②
两式相减得
2an=2[an^2-a(n-1)^2]+an-a(n-1)
化解得
an-a(n-1)=1/2
所以an为首相为1，公差为1/2的等差数列，即
an=1/2(n+1)
记bn=an/2^n=(n+1)/2^(n+1)
Tn=(1+1)/2^(1+1)+(1+2)/2^(1+2)+......+(n+1)/2^(n+1) ③

1/2Tn=(1+1)/2^(1+2)+(1+2)/2^(1+3)+....+(n+1)/2^(n+2) ④
③④相减并整合得
1/2Tn=2/2^2+1/2^3+1/2^4+1/2^5+....+1/2^(n+1)-(n+1)/2^(n+2)
由等比数列求和公式易得
Tn=[2^n+2^(n+1)-n-3]/2^(n+1)

不懂再问，For the lich king

Answer 2

解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan-p
∴2a1=2pa12+pa1-p，即2=2p+p-p，解得p=1；
（2）2Sn=2an2+an-1，①
2Sn-1=2an-12+an-1-1，（n≥2），②
①-②即得（an-an-1-12）（an+an-1）=0，
因为an+an-1≠0，所以an-an-1-12=0，
∴an=
n+12
（3）2Sn=2an2+an-1=2×(n+1)24+
n+12-1，
∴Sn=n2+3n4，
∴bn=
4Snn+3•2n=n•2n
Tn=1×21+2×22+…+n•2n③
又2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n2n+1 ④
④-③Tn=-1×21-（22+23+…+2n）+n2n+1=（n-1）2n+1+2
∴Tn=（n-1）2n+1+2

Answer 3

2an2?