偏导数存在和连续的关系
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多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续可以推出多元函数连续,反之不可。
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多元函数在某点可偏导,可是可能在这点沿不同方向的极限不同,所以不一定连续。而连续函数的偏导是不是一定存在,这个例子在一元函数里也很常见,比如x的绝对值,在x=0的`时候没有导数。
偏导连续(是偏导连续哦!而不是偏导数存在+函数连续!是偏导数存在且偏导数连续),是可以推出可微的。而可微是很强的结论,因为可以用十分特殊的线性函数来逼近的话,很多特殊的反例就不见了,而线性函数是连续的,这由定义可以看出来。所以,偏导存在且连续可以推出函数连续,反之不能。
反例沿用之前的反例,函数连续,但偏导不存在。
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