Question

已知函数f(x)为定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f(5/2)的值是多少

x=1/2时
1/2f(1+1/2)=(1+1/2)f(1/2)
f(3/2)=3f(1/2)
x=-1/2时
-1/2f(1/2)=1/2f(-1/2)
-f(1/2)=f(-1/2)

f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数
f(-1/2)=f(1/2)
-f(1/2)=f(-1/2)=f(1/2)

所以f(1/2)=0
f(3/2）=0
x=3/2时
3/2f(1+3/2)=5/2f（3/2）=0

f(5/2)=0

这与f(x)不恒零有矛盾了吗？

Answer 1

x=1/2时
1/2f(1+1/2)=(1+1/2)f(1/2)
f(3/2)=3f(1/2)
x=-1/2时
-1/2f(1/2)=1/2f(-1/2)
-f(1/2)=f(-1/2)

f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数
f(-1/2)=f(1/2)
-f(1/2)=f(-1/2)=f(1/2)

所以f(1/2)=0
f(3/2）=0
x=3/2时
3/2f(1+3/2)=5/2f（3/2）=0

f(5/2)=0

不恒等于0不是说不能等于0 常函数 f（x)=0才叫恒等于0

Answer 2

解：
令x=-1/2
(-1/2)f(1/2)=(1/2)f(-1/2)
(1/2)[f(1/2)+f(-1/2)]=0
函数为偶函数f(1/2)=f(-1/2)
因此f(1/2)=0
(1/2)f(3/2)=(3/2)f(1/2)
f(3/2)=0
(3/2)f(5/2)=(5/2)f(3/2)
f(5/2)=0

Answer 3

f(f(5/2))=0
解：当x=1/2 1/2f(3/2)=3/2f(1/2) 得 f(3/2)=3f(1/2)
当x=3/2 3/2f(5/2)=5/2f(3/2) 得 f(5/2)=5f(1/2)
当 x=--1/2 -1/2f(1/2)=1/2f(-1/2)
f(1/2)+f(-1/2)=0
因为f(x) 为偶函数 f(1/2)=f(-1/2)
f(1/2)=0
f(2/5)=0
f f(2/5)=f(0)=0