Question

1.计算积分∫∫（x∧2+y∧2）dxdy其中D是由y=x ，x=y^4 所围成的区域？

Answer 1

首先，由 $y=x$ 和 $x=y^4$ 相交可得 $y=x^{1/4}$，因此区域 $D$ 的边界可以表示为 $x=y^4$ 和 $y=x^{1/4}$，其中 $0 \leq y \leq 1$。
将积分式中的被积函数 $f(x,y) = x^2+y^2$ 转换为极坐标系下的形式：
$$f(r,\theta) = r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta = r^2$$
则有
$$\iint_D (x^2+y^2) dxdy = \int_0^1 \int_{y^4}^{y^{1/4}} r^2 r dr d\theta = \frac{11}{105}$$
因此，原积分的结果为 $\frac{11}{105}$。

Answer 2

方法如下，请作参考：

若有帮助，请采纳。

Answer 3

通过画出区域D的图形，我们发现它是一个对称的区域，关于y=x和y=x^1/4对称。因此可以利用对称性将积分区域D分为四部分计算，这里只计算一部分，最后再乘以4。
在y=x和y=x^1/4之间，x的取值范围是从0到1。因此，我们可以将积分转化为：
∫(从0到1)∫(从y^4到y)(x^2+y^2)dxdy
对x进行积分：
∫(从0到1) [(1/3)x^3 + xy^2] (从y^4到y) dy
= ∫(从0到1) [(1/3)y^3 + y^3/3] dy = 1/3
因此，四部分的答案都是1/3，最终答案为4/3。