Question

求f（x）= x³-2x²+x-1在［0，2］上的极值，最大值最小值。

Answer 1

首先，我们需要求出函数在区间[0,2]的一阶导数和二阶导数：
f'(x) = 3x² - 4x + 1
f''(x) = 6x - 4
将一阶导数f'(x) = 0，解得x = 1或x = 1/3。
然后，我们可以用二阶导数的正负性来确定极值：
当x = 1时，f''(1) = 2 > 0，说明f(x)在x = 1处取得最小值；
当x = 1/3时，f''(1/3) = -2 < 0，说明f(x)在x = 1/3处取得最大值。
因此，在[0,2]上，函数f(x)的最大值为f(1/3) = 25/27，最小值为f(1) = -1。

Answer 2

为了求出函数 f(x) = x³ - 2x² + x - 1 在区间 [0, 2] 上的极值，我们需要先求出函数的一阶导数和二阶导数，然后解方程求出导数为 0 的点，并根据导数的符号判断这些点是否为极值点。
首先，求出函数的一阶导数：
f'(x) = 3x² - 4x + 1
然后，求出函数的二阶导数：
f''(x) = 6x - 4
接下来，我们需要解方程 f'(x) = 0，得到导数为 0 的点：
3x² - 4x + 1 = 0
解得 x = 1/3 或 x = 1
将这两个点代入二阶导数 f''(x) 中，得到：
f''(1/3) = 6/3 - 4 = -2 < 0，所以 x = 1/3 是极大值点。
f''(1) = 6 - 4 = 2 > 0，所以 x = 1 是极小值点。
因此，在区间 [0, 2] 上，函数的最大值为：
f(1/3) = (1/3)³ - 2(1/3)² + 1/3 - 1 = -31/27
函数的最小值为：
f(1) = 1³ - 2(1)² + 1 - 1 = -1
因此，函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最大值为 -31/27，最小值为 -1。