Question

设(G，*)是n阶群，如果(G，*)不是循环群，证明(G，*)必有非平凡子群。

Answer 1

【答案】：[证明]显然，1阶群是循环群，所以当n阶群(G，*)不是循环群，应有n≠1且n也不是素数；在G中任取一个非幺元a，由于a的阶数不是1，也不能是n(否则(G，*)是循环群)；若设a的阶数为k，则k应是n的乘法因子，且1＜k＜n，由此可知，(G，*)必有k阶子群，即(G，*)有非平凡子群。