Question

一道数学题几何

圆内两条弦互相垂直，OF⊥BD，AB⊥CD，求证OF=1/2AC。

Answer 1

如图，连接DO并延长交圆于点E，连接EB

由题意知，点F,点O分别为DB,ED的中点

∴OF=EB/2

∵ED是直径

∴∠EBD=∠EBA+∠ABD=90º

∵∠ABD=∠ACD 又有AB⊥CD

∴∠CAB+∠ACD=∠EBA+∠ACD=90º

∴∠CAB=∠EBA

∴弧AE=弧CB（等弧对等角）

∴弧AE+弧EC=弧CB+弧EC，即弧AC=弧EB

∴AC=EB(等弧对等边)

∴OF=1/2AC

Answer 2

连接AD，BC， 连接AO并延长交圆于一点G。△ADG是直角三角形。

∵∠B=∠G，AB⊥CD，AD⊥DG，

∴ ∠DAG=∠CAB=∠CDB。

∴ BC=DG  

在Rt△ADG中，AD^2+DG^2=AG^2.

∴ AD^2+BC^2=4R^2.

∵ AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2=AC^2+BD^2,

∴ AC^2+BD^2=4R^2

∴ AC^2=4R^2- BD^2

∴ AC^2=4R^2-4BF^2.

∴ AC^2=4OF^2.

∴ AC=2OF.

Answer 3

连接DO并延长与圆交于点G，连接AG、BC、BG，则BG=2OF
三角形ABG和 三角形ABC全等 即得到AC=BG 从而结论得证