Question

如何求不定型极限？

Answer 1

要计算该极限，我们需要使用一些数学技巧。首先，我们注意到当 x 趋近无穷大时，(1 + x)^1/x 会形式上变成 "无穷大的 1/无穷大" 形式，这是一个不定型。为了解决这个问题，我们可以尝试将该表达式转化为一个更容易处理的形式。
我们可以通过取对数来简化这个表达式。令 y = (1 + x)^1/x，然后取对数得到：
ln(y) = ln((1 + x)^1/x)
现在，我们可以使用对数的性质，将指数移到前面：
ln(y) = (1/x) ln(1 + x)
现在，当 x 趋近无穷大时，右侧的 ln(1 + x) 的值趋近于无穷大，而 (1/x) 的值趋近于 0。这样，我们得到了 "无穷大 × 0" 形式，这仍然是一个不定型。
为了继续解决这个问题，我们可以应用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。该法则允许我们计算 "无穷大 × 0" 形式的极限。按照洛必达法则，我们对 ln(y) 和 (1/x) 分别求导数：
d/dx [ln(y)] = d/dx [(1/x) ln(1 + x)]
现在，对左侧和右侧分别求导数：
1/y * dy/dx = [(-1/x^2) ln(1 + x)] + [(1/x) * 1/(1 + x)]
接下来，我们将 y 的值和对 y 求导的值代回原方程：
1/y * dy/dx = [(-1/x^2) ln(1 + x)] + [(1/x) * 1/(1 + x)]
1/[(1 + x)^1/x] * dy/dx = [(-1/x^2) ln(1 + x)] + [(1/x) * 1/(1 + x)]
现在，我们让 x 趋近无穷大。在这种情况下，右侧的所有项都趋近于0。因此，左侧的项也趋近于0。这样，我们得到一个新的不定型 "0/0"。
继续使用洛必达法则，我们再次对左侧和右侧的表达式求导数：
d/dx [1/[(1 + x)^1/x] * dy/dx] = d/dx [(-1/x^2) ln(1 + x)] + d/dx [(1/x) * 1/(1 + x)]
现在，计算右侧的导数：
d/dx [(-1/x^2) ln(1 + x)] = (1/x^2) * 1/(1 + x)
d/dx [(1/x) * 1/(1 + x)] = -1/x^2 * 1/(1 + x)^2
再次代回原方程：
d/dx [1/[(1 + x)^1/x] * dy/dx] = (1/x^2) * 1/(1 + x) - 1/x^2 * 1/(1 + x)^2
现在让 x 趋近无穷大，右侧的所有项都趋近于0。因此，左侧的项也趋近于0。
最终结论是，当 x 趋近无穷大时，(1 + x)^1/x 的极限是 1。