Question

设函数y=f(x)(x属于R,且x≠0)对任意非零实数x1,x2恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且对任意x＞1,f(x)>0

第一问求f(-1),f(1)的值,都是0
第二问求f(x)的奇偶性，证出来是偶函数
第三问不会做：
求方程f(x)+f(x-2/3)=0的解
一二问我会.....
就是为了让大家省去解一二问的步骤，直接解第三问
第三问我也是这样想的，总觉得不对，因为没有证明(0,1)之间函数值有没有等于0的.....

Answer 1

1.根据f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，有f(-1*1)=f(-1)+f(1)，即f(-1)=f(-1)+f(1)
所以f(1)=0
同理，f(1)=f(-1*-1)f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0
所以f(-1)=0
2.f(-x)=f(x*-1)=f(x)+f(-1)=f(x)
所以函数是偶函数。
3.f(x)+f(x-2/3）=f(x^2-2/3x）=0
由1知f(-1)=f(1)=0
所以x^2-2/3x=1或x^2-2/3x=-1
对于x^2-2/3x=1，有x^2-2/3x+1/9=1+1/9。
即（x-1/3）^2=10/9
所以x=（根号10+1）/3或x=（1-根号10）/3
对于x^2-2/3x=-1，有x^2-2/3x+1=0，Δ=4/9-4<0，无解