Question

当然，函数极限cos(x）当x趋向于无穷大时极限不存在，这由函数与数列极限的关系容易得到； n趋向于无穷大

n趋向于无穷大，cos(n)为什么不存在，其中n为正整数。给出充分性证明，谢谢

Answer 1

当 0<x<=1 时， cosx >= cos1 > cos pi/3 = 1/2
当 2<= x<3 时， cosx < cos2 < cos pi/2 = 0

于是在每个 区间 (2i*pi, 2i*pi + 1], i = 1,2,..., 中一定存在一个正整数 ni.(因为区间长度是1)。0 < ni - 2i*p <= 1, cosni = cos(ni-2i*pi) > 1/2.

类似， 在每个 区间 (2i*pi + 2, 2i*pi + 3], i = 1,2,..., 中一定存在一个正整数 mi.(因为区间长度是1). 2 < ni - 2i*p <= 3, cosni = cos(ni-2i*pi) < 0.

这样，cosn 有两个无穷子序列，一个恒大于1/2， 一个恒小于0， 所以不可能有极限。

Answer 2

当
0
=
cos1
>
cos
pi/3
=
1/2
当
2<=
x<3
时，
cosx
<
cos2
<
cos
pi/2
=
0
于是在每个
区间
(2i*pi,
2i*pi
+
1],
i
=
1,2,...,
中一定存在一个正整数
ni.(因为区间长度是1)。0
<
ni
-
2i*p
<=
1,
cosni
=
cos(ni-2i*pi)
>
1/2.
类似，
在每个
区间
(2i*pi
+
2,
2i*pi
+
3],
i
=
1,2,...,
中一定存在一个正整数
mi.(因为区间长度是1).
2
<
ni
-
2i*p
<=
3,
cosni
=
cos(ni-2i*pi)
<
0.
这样，cosn
有两个无穷子序列，一个恒大于1/2，
一个恒小于0，
所以不可能有极限。

Answer 3

周期函数不可能有极限。