Question

在同一平面内任意划N条直线,N大于等于2,最多能有几个交点

Answer 1

【这是最多的，希望你会喜欢。】

交点的个数最多有(n-1)n/2个,(任意3条不共点）
最少有1个 （N条直线全部过一点）

注意：“两两相交”是说“任意两条直线都相交”

分析过程：
平面内有2条直线两两相交最多可以得到1个交点，
平面内有3条直线两两相交最多可以得到1+2=3个交点，，（即第四条直线与前面每条直线都相交）
平面内有4条直线两两相交最多可以得到1+2+3=6个交点，（即第四条直线与前面每条直线都相交）
平面内有5条直线两两相交最多可以得到1+2+3+4=10个交点，，（即第四条直线与前面每条直线都相交）
......
所以平面内有n条直线两两相交最多可以得到1+2+3+...+n-1=（1+n-1）*（n-1）/2=（n^2-n）/2个交点,

也可以这样分析：
N条直线中任意取一条直线L，则L与剩余的N－1条直线都相交，L上最多有N－1个交点
同理，每条直线上最多也是有N－1个交点
所以N条最多共有N*(N－1)个交点，
但任意两条直线的交点在计算时都算了再次（一条直线一次）
所以N条直线最多有交点N*(N－1)/2个

【下面的是最少的，遇到这种题可以看看】

设N条直线至少有一个交点的最少交点数为S(N)
那么有:
(1) S(1)=0
(2) 考虑平面上已经有N-1条直线，它们交点数为T(N-1),现在再添一条直线进去
1.新加的直线有无可能与这些直线都平行？——不可能，因为若是这样前N-1条直线互相平行，也就是不可能有交点，矛盾
2.那么就有S(N) >= T(N-1)+1 >= S(N-1)+1
(3)那么就能推出S(N) >= N-1
(4)等号能否取到？——能，只要有N-1条直线相互平行，另一条与他们都有交点即可
综上，所求答案为N-1

换一种思维

写一个证明看看。
n-1个交点的情形是存在的，前面大家都说了，下面证明最少。
首先n=3的时候容易知道有且只有一种两个交点的情况，就是有一对平行线，另外一条直线穿过它们。
假如n=k的时候最少有k-1个交点，且只有两种可能的情形，一种是k-1条直线平行，另外一条直线穿过它们（记为情形A）。另外一种情况是两条直线平行，其它k-2条直线交于一点（为了方便记为中心点），且这点在两条平行直线的某一条上，这样总共也是k-1个交点（记为情形B).
注意，n=3的时候，同时符合这两种情形。
n=k+1时，任选出其中k条直线。
如果这k条直线平行，显然余下的一条直线和它们相交，有k个交点。这属于情形A.
如果这k条直线有一个交点，那么另外一条直线不交于这一点。因为这条直线至多和这k条直线中的一条平行，所以最少有k-1个交点。一共是k个交点。这属于情形B.
如果这k条直线交点多于一个，那么由归纳假设，至少有k-1个交点。如果有k个或者k个以上的交点，命题不用再证。下面证明有k-1个交点的情形。
有k-1个交点，由归纳假设，只有两种情况。
如果是情形B,我们很容易发现已有的k-1个交点，任意两个交点已经有直线通过，所以余下的那条直线至少会增加一个交点。容易看出，增加一个交点也只有一种情况，那就是余下的那条直线通过中心点。这种情况还是属于情形B.
如果是情形A,更简单，余下的那条直线必须平行于前面的k-1条直线。属于情形A.
于是命题得证。
证明也许可以简化一点点，比如n=k+1时缩小k条直线的交点的情形，讨论也许会少些。但是我觉得不简化好像看起来更清楚，也容易理解，所以全部写出类。

--很高兴可以帮助你们