Question

为什么幂指函数求导不能用复合函数求导方法？超越函数求导 能用复合函数求导方法吗？麻烦详细一点

比如说y=（lnx）的x次幂求导用两边取对数和用复合函数求导方法直接求的结果不一样？到底超越函数和复合函数有何区别，以及幂指函数不是超越函数吗？

Answer 1

在微积分中一般讨论初等函数和非初等函数,超越函数只是初等函数的一个子集.幂指函数实际也是初等函数,关键是如何看出其的复合函数.弄清楚了复合关系就可以用复合函数求导的方法求导了.
对于形如y=u(x)^v(x)的幂指函数,其实是由指数函数复合形成的.
y=u(x)^v(x)=e^(v(x)ln(u(x))),设f(x)=ln(u(x)),g(x)=v(x)f(x),y=e^g(x),可以看出y实际就是指数函数的复合形式.弄清楚了复合关系求导就方便了,直接用复合函数的求导公式:
y'=e^g(x)*(g(x))'=u^v*(v'f+f'v)
=u^v(v'lnu+(lnu)'v)
=u^v*(v'lnu+u'v/u)
计算实例:y=(sinx)^x=e^(xln(sinx))
y'=e^(xln(sinx))*(xln(sinx))'
=(sinx)^x*(ln(sinx)+x(ln(sinx))')
=((sinx)^x)(ln(sinx)+x/sinx*(sinx)')
=((sinx)^x)(ln(sinx)+xconx/sinx)

Answer 2

[(lnx)^x]'只能用对数求导法

看看二者的区别
复合函数y=f[g(x)]设t=g(x)则y=f（t）这里f的自变量是t g的自变量是x

而函数y=(lnx)x 你如果设t=lnx 则y=t^x 这里t函数自变量是x 然而y函数的自变量就是t和x y就是个二元函数了

Answer 3

幂指函数属于二元复合函数，
必须利用多元复合函数的求导法则