Question

等腰三角形ABC的底角角B=36°，D是底边BC上的点，且BD=AD，判断点D是不是线段BC的黄金分割点，并说明理由

等腰三角形ABC的底角角B=36°，D是底边BC上的点，且BD=AD，判断点D是不是线段BC的黄金分割点，并说明理由。（证明过程详细）

Answer 1

已知AD=BD 可以知道三角形ADC是一个底是72度的等腰三角形，既然要证明D是不是黄金分割点，就是要求BD/DC的值是不是0.618
三角形ADC是等腰，可以知道AC=DC，结合前面的已知AD=BD，所以只要知道AD/AC 就可以了，那么现在就要知道<ACD的对边/斜边的函数就可以了即sin36
现在就来求sin36等于多少。
可以这样解决:
显然36°,72°,72°的三角形的底边与腰长之比为(√5-1)/2(黄金分割数),
所以我们设底边长为1,则有腰长为(√5-1)/2,
则由海伦-秦九韶公式面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)
说明:其中a,b,c为三角形的三条边长,p=(a+b+c)/2.
p=[2*(√5-1)/2+1]/2=√5/2,a=b=(√5-1)/2,c=1,
S=√{(√5/2)[(√5/2)-(√5-1)/2][(√5/2)-(√5-1)/2][(√5/2)-1]}
=√[√5/2*(1/4)*(√5/2-1)]
=√[(5-2√5)]/4,
又S=ab*sin36°/2,
所以S=[(√5-1)/2]^2*sin36°/2
=(3-√5)*sin36°/4
所以√[(5-2√5)]/4=(3-√5)*sin36°/4,
所以sin36°=√[(5-2√5)]/(3-√5)
=√[(5-2√5)]*(3+√5)/[(3-√5)(3+√5)]
=√{[(5-2√5)]*(3+√5)^2}/4
=√[(5-2√5)*(14+2√5)]/4
=[√(10-2√5)]/4.
你自己算一下是不是接近0.618

Answer 2

依题意，知
等腰三角形ABC顶角<BAC=108,底角<C=36
因AD=BD,<B=36
故<BAD=36
故<CAD=<BAC-<BAD=72
故<ADC=180-<C-<CAD=72
故AC=DC
易证三角形ABD与三角形CBA相似
故CB/AB=BA/BD
又因为AB=AC=CD
所以BC/CD=CD/BD
故D是BC的黄金分割点（总长比长边等于长边比短边）。

Answer 3

是黄金分割点。顶角或底角为36度的等腰三角形都是黄金三角形，即其一腰与底边比为黄金黄金比：(√5-1)/2.
对应此题，已知AC/BC= (√5-1)/2。画图，由BD=AD,得出CD=AC,则CD/BC=AC/BC= (√5-1)/2,是为黄金分割