Question

求这个函数y=1/2(ex-e-x)的反函数？具体看补充

大家帮帮忙

Answer 1

令e^x=t得

t-1/t=2y，解t的一元二次方程

得t=y±根号下y^2+1

t必须大于零

所以t=y+根号下y^2+1

则反函数为loge[根号（y^2+1）]

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

Answer 2

设e^x=t t大于0
则 2*y=t-1/t
t^2-2*y*t-1=0
解方程得 t=y+根号(y^2+1 ) 负跟已舍去
e^x=y+根号(y^2+1 )
对换 X,Y 同取对数得
Y=Ln【x+根号(x^2+1 )】

Answer 3

y＝1/2(e^x-e^-x)=e^x/2(e^2x-1)
2ye^2x-e^x-2y=0
e^x=〔1+根号（1+16y^2）〕/4y或〔1-根号（1+16y^2）〕/4y
x＝ln〔1+根号（1+16y^2）〕/4y或ln〔1-根号（1+16y^2）〕/4y
y>0时是前一个，y<0时是后一个，即：
y>0时，x＝ln〔1+根号（1+16y^2）〕/4y；
y<0时，x=ln〔1-根号（1+16y^2）〕/4y

Answer 4

令e^x=t得
t-1/t=2y，解t的一元二次方程
得t=y±根号下y^2+1
t必须大于零
所以t=y+根号下y^2+1
则反函数为loge[根号（y^2+1）]