Question

高数问题，急！

1.函数f在（-无穷，+无穷）上有定义，且对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.证明：若f'(0)存在，则函数在任一点都可导，并求f'(x)
2.设y=x^(n-1)*lnx,求y^(n)
要详细过程！

Answer 1

1. 证明：

∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
∴f(x+0)=f(x)+f(0)+0
∴f(0)=0

又由导数定义，得
f'(x)=lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/△x
=lim(△x→0) [f(x)+f(△x)+2x*△x-f(x)]/△x
=lim(△x→0) [f(△x)+2x*△x]/△x
=lim(△x→0) [f(△x)]/△x+lim(△x→0) [2x*△x]/△x
=2x+lim(△x→0) [f(△x)]/△x
=2x+lim(△x→0) [f(0+△x)-f(0)]/△x
=2x+f'(0)
∴若f'(0)存在，则函数在任一点都可导
且f'(x)=2x+f'(0)

证毕

2.y=x^(n-1)*lnx
y'=[x^(n-1)]'*lnx+x^(n-1)*(lnx)'
=(n-1)x^(n-2)*lnx+x^(n-2)
注意到第二项x^(n-2)取(n-1)阶导数=0
∴y^(n)=(y')^(n-1)
=[(n-1)x^(n-2)*lnx]^(n-1)
同理，考虑[x^(n-2)*lnx]^(n-1)，其第二项也为0
∴y^(n)=(y')^(n-1)
=[(n-1)x^(n-2)*lnx]^(n-1)
=(n-1)! /x