Question

求助一道数学题～

设f(x)在〔0，1〕上连续，在（0，1）内可导，且f(0)=0,f(1)=1,a、b在〔0，1〕内，试证明[0,1]内存在不相等的两个数c,d，使a/f'(c)+b/f'(d)=a+b～急啊～

Answer 1

你题中 设f(x)在〔0，1〕上连续， 应该是闭区间[0,1]上连续。 该是笔误。下面证明比较罗嗦，符号用得较多，难免有笔误，不清楚的请留言讨论。

考虑g(x) = f(x) - x. g(0)=g(1)=1. 如果g(x)在内部有两个以上极值点。分别取c, d为不同极值点，则 f'(c)=f'(d)=1. 结论成立。

下面设g在内部只有一个极值点, 不妨设 g(x)在 0<x0<1处有最大值。于是
f'(x0) = 1, 并且当 0<x<x0时， f'(x) > 1； 当 x0<x<1时， f'(x) < 1。 取 x1使得 x0<x1<1, 并且 f(x)>f(x0) 对一切 x0<x<=x1 都成立。

设 h(t) = a(x0 - (1-t)x0)/(f(x0) - f((1-t)x0)) + b (x0 - (x1-t（x1-x0）)/(f(x0) - f((x1-t（x1-x0）))， 0<= t <= 1,
这函数在端点处，都有一个分母为零，但极限存在，取极限为其函数值，于是h连续。

则 h(0) = a + b (x0 - x1)/(f(x0) - f(x1)) = a + b/f'(s2), 其中 x0< s2 < x1, 所以 0< f'(s2) < 1, 于是 h(0) > a+b。
注：不可能f'(s2）= (f(x0) - f(x1))/(x0 - x1)<0, 因为 f(x1)>f(x0)
h(1) = a(x0- 0)/(f(x0)-f(0)) + b = a/f'（s1) + b, 其中 0< s1 < x0, 所以 f'(s1) > 1, 于是 h(1) < a+b。

所以存在 t0 使得 h(t0) = a+b.
设 0<c<x0 使得 f'(c)=(f(x0) - f((1-t0)x0))/(x0 - (1-t0)x0),
设 x0<d<x1 使得 f'(d)=(f(x0) - f((x1-t0（x1-x0）))/(x0 - (x1-t0（x1-x0）), 则 a/f'(c)+b/f'(d)=a+b

方法2：

1. 存在内点x0 使得 f'(x0) =1
2. 根据布达定理， 说明 f'([0,1])包含 [x1,x2],其中 0<x1<1<x2
3. 构造
h(t) = a/（x1 + t(1-x1）) + b/ （1 + t(x2-1）)， 0<=t<=1
则 h(0) = a/x1 + b > a+b
h(1) = a + b/x2 < a+b
于是存在 t0 使得 h(t0) = a+b
注意到 h(t) 的分母都是某处的导数， 结论成立。

Answer 2

1. 存在内点x0 使得 f'(x0) =1
2. 根据布达定理， 说明 f'([0,1])包含 [x1,x2],其中 0<x1<1<x2
3. 构造
h(t) = a/（x1 + t(1-x1）) + b/ （1 + t(x2-1）)， 0<=t<=1
则 h(0) = a/x1 + b > a+b
h(1) = a + b/x2 < a+b
于是存在 t0 使得 h(t0) = a+b
注意到 h(t) 的分母都是某处的导数， 结论成立。