Question

过椭圆右焦点F且斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点,且|AF|/|BF|=1/2则该椭圆的离心

Answer 1

作椭圆的右准线l，作AM⊥l,BN⊥l,垂足分别为M、N，作AD⊥BN，垂足D，
根据椭圆第二定义，
离心率e=|AF|/|AM|=|BF|/|BN|,
|BN|/|AM|=|BF|/|AF|=2,
|BN|=2|AM|,
(|BF|+|AF|)/|AF|=3,
|AB|/|AF|=3,
斜率为1的直线其倾角为45度，
在三角形ABD中，
BD=cos45°*AB=√2|AB|/2，
|BD|=|BN|-|AM|=2|AM|-|AM|=|AM|,
|AM|=√2|AB|/2，
|AF|=|AB|/3，
e=|AF|/|AM|=(|AB|/3)/(√2|AB|/2)
∴e=√2/3.