Question

急！！！已知函数f(x)=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)+2cos^2x+a-1（a为常数），若f(x)的最大值为√2+1

已知函数f(x)=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)+2cos^2*x+a-1（a为常数），若f(x)的最大值为√2+1
（1）求实数a的值 （2）求实数f(x)所有对称中心的坐标 （3）求函数g(x)=f(x+3/8π）+2的减区间
求详细过程~~~在线等

Answer 1

(1)解：f(x)=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)+2cos^2*x+a-1
=sin2xcosπ/3+cos2xsinπ/3+sin2xcosπ/3-cos2xsinπ/3+2cos^2x-1+a
=2sin2xcosπ/3+2cos^2x-1+a
=sin2x+cos2x+a
=√2sin(2x+π/4)+a
当sin(2x+π/4)=1时，取最大值，即√2+a=√2+1 a=1
(2)f(x)的对称中心就是 =√2sin(2x+π/4)与x轴的交点（因为图像向上平移了一个单位，所以对称中心的纵坐标都为1）
即√2sin(2x+π/4)=0解得x=kπ/2-π/8.
所以对称中心的坐标为（kπ/2-π/8，1）
(3）g(x)=f(x+3/8π）+2=√2sin(2（x+3/8π）+π/4)+1+2=√2sin（2x+π）+3
=-√2sin2x+3
求-√2sin2x的减区间就行了，也就是求√2sin2x的增区间
2kπ-π/2《2x《2kπ+π/2 ， 解出来 kπ-π/4《x《kπ+π/4 所以g(x)的减区间为【kπ-π/4，kπ+π/4】

Answer 2

！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
！！注意答案不一定正确，因为本人几年没做数学题了！！
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由公式sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
得f(x)=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)+2cos^2*x+a-1
=2sin2xconsπ/3+2cos^2*x+a-1
=sin2x+2cos^2x+a-1 (由cos2x=2cos^2x-1)
=sin2x+cos2x+a
=√2sin(2x+π/4)+a
因为 √2sin(2x+π/4)的最大值是√2
所以a=1
所以 f（x）=√2sin(2x+π/4)+1
（2）由上面最后的式子应该可以得到
坐标是（K*π/2-π/8，0） (k为0，1，2……)
(3)代进去求导g（x）=√2sin(2（x+3/8π）+π/4)+1+2
=√2sin（2x+π）+3
求导等于 2√2cos（2x+π）然后 cos（2x+π）<0的区间是。。
(k*π-4/π，k*π+4/π]

Answer 3

(1)由加法公式和倍角公式f(x)=sin2x+cos^2x-1+a=sin2x+cos2x+a
再由辅助角公式f(x)=√2 sin(2x+π/4)+a
所以f(x)最大值为√2+a
因此a=1

（2）函数图像与x轴交点均为中心对称点
令f(x)=√2 sin(2x+π/4)+1=0
得到所有对称中心的坐标 （3/4π+kπ,0）和（π/2+kπ,0）其中k=0,1,2,3...... k=0,-1,-2,-3......

(3) g(x)==√2sin（2x+π）+3

解法一求导，同上面的解答
解法二利用函数图像变换
已知函数y=sin2x递减区间为[π/4+kπ,3π/4+kπ] k=0,1,-1,2,-2,3,-3.....
因为y=sin2x周期为π，所以y=sin(2（x+π/2）)递减区间为[-π/4+kπ,π/4+kπ] k=0,1,-1,2,-2,3,-3.....
因此g(x)递减区间为[-π/4+kπ,π/4+kπ] k=0,1,-1,2,-2,3,-3.....
纵向平移变换和纵向伸缩变换不影响函数增减区间