Question

设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，离心率为根号3/3（三分之根号三），过点C(-1,0)的直线较椭圆E于

设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，离心率为根号3/3（三分之根号三），过点C(-1,0)的直线较椭圆E于A,B两点，且向量CA=2向量BC，求当△AOB面积达到最大时直线和椭圆E的方程

Answer 1

设A,B点横坐标分别为x1,x2(x1>x2)
因为向量CA=2*向量BC,故x1-(-1)=2[x2-(-1)]即x1=2x2+1
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1
因为e=c/a,设c=t,a=根号3*t,b=根号2*t
故x²/3t²+y²/2t²=1...1式
设过点C的直线方程为y=k(x+1)...2式
联立1,2式消y得(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6t²=0
由韦达定理得x1+x2=3x2+1=-6k²/(3k²+2),x1x2=(3k²-6t²)/(3k²+2)
|AB|=根号(k²+1)*(x1-x2)=根号(k²+1)*(x2+1)
x2+1=1/3*(3x2+3)=1/3*4/(3k²+2)=4/[3(3k²+2)]
O点到直线AB距离h=|k|/根号(k²+1)
三角形AOB面积S=0.5*|AB|*h=0.5|k|(x2+1)=2/3*|k|/(3k²+2)
3k²+2/|k|=3|k|+(2/|k|)>=2倍根号6,当且仅当|k|=(根号6)/3时取得最小值
所以|k|/(3k²+2)最大值为(根号6)/12,此时面积最大为(根号6)/18
所以k=±(根号6)/3
直线方程为y=±(根号6)/3*(x+1)
x2+1=4/[3(3k²+2)]=1/3,所以x2=-2/3,x1=2x2+1=-1/3
x1x2=(3k²-6t²)/(3k²+2)=1/9,所以t²=7/27
所以椭圆方程为x²/(7/9)+y²/(14/27)=1