Question

圆锥曲线的问题

过双曲线x2/4-y2/9=1的左焦点F作圆x2+y2=4的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF的中点是M，则|MO|-|MT|于1的大小关系是？

Answer 1

【注：先画一个较规范的图，以便数形结合。】解：可设右焦点为F2,连接PF2，OM,OT.由双曲线方程(x²/4)-(y²/9)=1.可知，a=2,b=3,c=√13.且|PF|-|PF2|=2a=4.===>|PF|=4+|PF2|.∴|FM|=|PF|/2=2+(|PF2|/2).(一）在⊿OFT中，易知，OT⊥FT,OF=√13，OT=2。∴由勾股定理可知|FT|=3，（二）在⊿PFF2中，由FO=OF2，FM=MP,∴OM是中位线，设OM=x,则PF2=2x.∴FM=2+(|PF2|/2)=2+x.TM=FM-FT=(2+x)-3=x-1.综上可知，|OM|=x,|TM|=x-1.∴|MO|-|MT|=x-(x-1)=1.即|MO|-|MT|=1.