Question

有关高数的问题

设函数f（x）连续，f‘（0）存在，并且对于任何的x,y 属于R，有f（x+y）=[f(x)+f(y)]/[1-4f(x)f(y)]，证明f（x）在R上可微. 望给出详细的解答过程

Answer 1

证明：∵ f(0+0) = 2f(0)/[1-4f^2(0)]
∴ f(0) - 4f^3(0) = 2f(0)
即有：f(0)=0

f'(x)
= lim(y->0) [f(x+y)-f(x)]/y

= lim(y->0) { [f(x)+f(y)]/[1-4f(x)f(y)] - f(x) } /y

= lim(y->0) f(y)[1+4f^2(x)]/y[1-4f(x)f(y)]

= lim(y->0) [f(y)-f(0)]/y * [1+4f^2(x)]/[1-4f(x)f(y)]

= f'(0) * [1+4f^2(x)]

∵对任意 x∈R ， f'(x) 存在，∴f（x）在R上可微。