Question

已知实数a>b>c且a+b+c=0,方程ax^2+bx+c=0的两个不同的实数根为x1,x2 (1)证明-1/2<a/b<1 (2)x1^2+x1x2+x2^2

已知实数a>b>c且a+b+c=0,方程ax^2+bx+c=0的两个不同的实数根为x1,x2 (1)证明-1/2<a/b<1 (2)x1^2+x1x2+x2^2=1,求x1^2-x1x2+x2^2的值 (3)求|x1^2-x2^2|的取值范围

Answer 1

(1)a/b<1 ？，如何证明阿？如果a=5，b=2，c=-7，a/b=2.5>1,由此可见，（1）无法证明。
应该是-1/2<b/a<1吧。
因为a>b>c且a+b+c=0，必有a>0,c<0,而b的符号不能确定，a+b+b>0，即a>-2b，两边除以-2a（小于0），得-1/2<b/a，a>b,两边除以a得：b/a<1，
所以-1/2<b/a<1

(2)a+b+c=0,ax^2+bx+c=0必有一个根是1，这里设x1=1，
因为x1^2+x1x2+x2^2=1,所以1+x2+x2^2=1所以：x2（x2+1）=0，x2≠0，因为当x2=0，则c=0，和a>b>c且a+b+c=0矛盾，所以x2+1=0，x2=-1，把x1=1，x2=-1代入x1^2-x1x2+x2^2=1^2-1*（-1）+（-1）^2=3

（3）因为x1=1，而且对称轴x=-b/2a,我们知道-1/2<-b/2a<1/4,所以，可以发现|x1^2-x2^2|的最大值，这时，x2>-2,
|x1^2-x2^2|<|1^2-(-2)^2|=3,当x1=-x2时，它取最小值0，
所以：0<|x1^2-x2^2|<3

Answer 2

2楼回答很好，只是第3问中x2>-2，不是-3，且是x1=-x2时取最小值（这个到不影响结果），故最终是0<=|x1^2-x2^2|<3

Answer 3

1

Answer 4

fangyaojun