Question

问一个用微分中值定理解决的证明题。

f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，证明存在t属于(0,1)，使得f''(t)=2f'(t)/(1-t)。

我找出了辅助函数G(x)=f'(x)(1-x)-f(x)，但如何证明它在(0,1)内有两个值相同的点？

Answer 1

G(1)=0
只需 G(ξ)=f'(ξ)(1-ξ)-f(ξ)=0,ξ∈(0,1)
只需 f'(ξ)=f(ξ)/(1-ξ)

构造函数 H(x)=x*f(x),则在[0,1]上H(0)=H(1)=0,由中值定理得存在ξ∈(0,1),H'(ξ)=0即f'(ξ)=f(ξ)/(1-ξ)

于是G(x)在[ξ,1]满足定理条件
略

Answer 2

换个思路

证明：

∵f(0)=f(1)=0
∴由微分中值定理知，存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0

令G(x)=(1-x)²f'(x)，则G(ξ)=G(1)=0
∴由微分中值定理知，存在t∈(ξ,1)，使G'(t)=0
即(1-t)²f''(t)-2(1-t)f'(t)=0
∵t<1
∴(1-t)f''(t)-2f'(t)=0
即f''(t)=2f'(t)/(1-t)

证毕