Question

设P(x,y)为椭圆X2/a2+Y2/y2=1(a>b>0)上的任一点.F1,F2是它的左右焦点.求证|PF1|·|PF2|∈〔b2,a2〕

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Answer 1

|PF1|·|PF2| <= ((PF1 + PF2 )/ 2)^2 = a^2
|PF1|·|PF2| = (2a - PF1)PF1 = -(PF1 - a) ^ 2 + a ^2,其中 a-c <= PF1 <= a + c有二次函数性质和区间，得到 PF1 = a-c或者PF1 = a+c时取得区间上的最小值，带入得|PF1|·|PF2| = - c^ + a^2 = b^2，当PF1=PF2=a是取得最大值|PF1|·|PF2| =a^2
|PF1|·|PF2|∈〔b2,a2〕得证